机器人学 II：四元数与运动规划入门

1为什么还需要一种新表示？

第2章学习了旋转矩阵、欧拉角和轴角。先回顾它们在存储、运算与边界条件上的特点，再理解四元数的用途（课件 p3-12）：

单位四元数提供紧凑且便于求逆、复合与插值的表示，局部没有欧拉角的万向锁。它仍有单位模长约束和$q/-q$双重覆盖，使用时要处理符号与接口约定。

2四元数：复数的四维表亲

先回忆复数：$a + bi$，其中 $i^2 = -1$。1843年，哈密顿（Hamilton）提出四元数，将复数的思路推广到四维：从二维复数推广到四维四元数——

四元数（Quaternion）定义为：$q = w + xi + yj + zk$，其中虚数单位满足：
$$ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 $$ 以及反交换性质：$ij = k = -ji,\quad jk = i = -kj,\quad ki = j = -ik$。

三个虚数单位的关系可以用一个转盘记忆：$i \to j \to k \to i$ 顺时针乘是正的，逆时针乘是负的。

常用向量形式书写：$q = (w, \mathbf{v})$，$\mathbf{v} = (x, y, z)$——实部 $w$ 加一个三维向量部分。

3四元数运算：Hamilton乘积（向量形式）

四元数核心运算是乘法，通常称Hamilton乘积。课件p15给出其点积与叉积形式：

$$ q_1 q_2 = (w_1 w_2 - \mathbf{v}_1^{\top} \mathbf{v}_2,\; w_1 \mathbf{v}_2 + w_2 \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2) $$

按实部和虚部分开看：实部 = 两个实部相乘减点积；虚部 = 两个实部互乘向量部分加叉积。注意由于叉积的存在，$q_1 q_2 \neq q_2 q_1$——四元数乘法不可交换。

其余运算与复数完全平行：

其中模长公式的写法 $qq^* = q^*q$ 说明了一个具体性质：虽然乘法不可交换，但 $q$ 和自己的共轭是可交换的。

4单位四元数与旋转

先认识两个特殊子类（笔记定义）：

• 单位四元数：$\|q\| = 1$。可表示三维旋转，且有 $q^{-1} = q^*$；
• 纯四元数：$w = 0$，即 $q = (0, \mathbf{v})$。可表示三维向量。

4.1 从轴角到四元数：用半角编码旋转

回忆第 2 章的欧拉定理：任意旋转 = 绕单位轴 $\hat{\omega}$ 转 $\theta$。把这个 $(\hat{\omega}, \theta)$ 打包进四元数（课件 p17）：

$$ q = \left[\cos\frac{\theta}{2},\ \sin\frac{\theta}{2}\,\hat{\omega}\right] $$

旋转向量用轴与角描述同一个旋转；四元数则把半角的余弦存为实部、半角的正弦乘单位轴存为虚部。这给出与旋转向量不同的旋转编码。反向关系为：

$$ \theta = 2\arccos(w), \qquad \hat{\omega} = \frac{\mathbf{v}}{\sin(\theta/2)} \quad (|\sin(\theta/2)| > 0) $$

直接用$2\arccos(w)$得到的角可落在$[0,2\pi]$。若需要最短旋转角$[0,\pi]$，先在$q$与$-q$中选择$w\ge0$的表示；转角为$\pi$时正反轴都可表示同一旋转。$d_{S^3}$表示球面距离，区别于常见的内积记号。

若 $q=(1,0,0,0)$ 或 $q=(-1,0,0,0)$，都表示恒等旋转：约定 $\theta=0$，轴可任选单位向量，例如 $(1,0,0)$。非零角时先归一化四元数，并将 $w$ 截到 $[-1,1]$ 以避免浮点误差。

4.2 双重覆盖：一个旋转，两个四元数

四元数与旋转不是一一对应，而是二对一——这就是「双重覆盖（double-covering）」：

$$-q=\left[-\cos\frac{\theta}{2},-\sin\frac{\theta}{2}\hat\omega\right]=\left[\cos\left(\pi-\frac{\theta}{2}\right),\sin\left(\pi-\frac{\theta}{2}\right)(-\hat\omega)\right]$$

即：$q$ 与 $-q$ 表示同一个旋转（$-q$ 等价于「轴翻转 + 旋转 $2\pi - \theta$」）。

中文翻译

\(\mathbf u,\mathbf v,\mathbf v',\theta\)。

\(-\mathbf u,\mathbf v,\mathbf v',2\pi-\theta\)。

\(\mathbf v,\mathbf v',\theta,2\pi-\theta\)。

4.3 旋转组合 = 四元数乘法

用于旋转组合的性质（课件 p18）：先转 $q_1$ 再转 $q_2$，等价于一个四元数 $q_2 q_1$：

$$ q_2 (q_1 x q_1^*) q_2^* = (q_2 q_1)\, x\, (q_1^* q_2^*) $$

四元数乘法满足结合律，因此可将连续旋转合并为一个乘积。结果中的右侧旋转先执行；例如$R(q_2q_1)=R(q_2)R(q_1)$。朴素四元数复合所需算术次数比3×3矩阵复合少，具体效率取决于实现。

单位四元数有4个分量与1个单位长度约束，因而具有3个自由度。几何上它们组成嵌在四维欧几里得空间中的三维单位球面$S^3$。

5向量旋转：x′ = qxq⁻¹

用四元数旋转三维向量 $\mathbf{v}$ 的步骤（课件 p18）：

1. 把向量包装成纯四元数：$v = [0, \mathbf{v}]$；
2. 计算纯四元数$v\prime=q(0,\mathbf v)q^*$，再取三维虚部得到$\mathbf v\prime$。此处$q$为单位四元数，因此$q^{-1}=q^*$。

为什么成立？笔记给出了完整的展开。设单位四元数 $q = [w, \mathbf{r}]$（满足 $w^2 + \|\mathbf{r}\|^2 = 1$），展开 $qvq^*$：

$$ \begin{aligned} qvq^* &= [w, \mathbf{r}]\,[0, \mathbf{v}]\,[w, -\mathbf{r}] \\ &= [-\mathbf{r}\cdot\mathbf{v},\ w\mathbf{v} + \mathbf{r}\times\mathbf{v}]\,[w, -\mathbf{r}] \\ &= [0,\ (1-2\|\mathbf{r}\|^2)\mathbf{v} + 2(\mathbf{r}\cdot\mathbf{v})\mathbf{r} + 2w(\mathbf{r}\times\mathbf{v})] \end{aligned} $$

（中间用到了叉乘展开式 $a\times (b\times c) = (a\cdot c)b - (a\cdot b)c$ 和单位约束。）

现在代入 $w = \cos\frac{\theta}{2}$、$\mathbf{r} = \sin\frac{\theta}{2}\,\mathbf{u}$，利用半角公式：

• $1 - 2\|\mathbf{r}\|^2 = 1 - 2\sin^2\frac{\theta}{2} = \cos\theta$
• $2(\mathbf{r}\cdot\mathbf{v})\mathbf{r} = (1 - \cos\theta)(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u}$
• $2w(\mathbf{r}\times\mathbf{v}) = \sin\theta\,(\mathbf{u}\times\mathbf{v})$

代回得：

$$ \mathbf{v}' = \cos\theta\,\mathbf{v} + (1-\cos\theta)(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u} + \sin\theta\,(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) $$

该展开与罗德里格斯公式完全等价。四元数尤其便于旋转复合与插值；实际旋转大量向量时，把它转换为矩阵也常有计算优势。原课件p19—20保留Stanford CS348A的证明来源。

6四元数与旋转矩阵互转

6.1 四元数 → 旋转矩阵

对单位四元数 $q = [w, (x, y, z)]$，对应的旋转矩阵是（笔记 + 课件 p25）：

$$ R(q) = \begin{bmatrix} 1 - 2y^2 - 2z^2 & 2xy - 2zw & 2xz + 2yw \\ 2xy + 2zw & 1 - 2x^2 - 2z^2 & 2yz - 2xw \\ 2xz - 2yw & 2yz + 2xw & 1 - 2x^2 - 2y^2 \end{bmatrix} $$

证明思路很直接：把三个基向量 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3$ 分别代入 $qvq^*$，得到的三列就是 $R$。这也正是第 1 章作业 1 里 quat_to_mat 的实现方式。

四元数与旋转矩阵之间的转换

• 旋转矩阵 ← 四元数。
  • 由 \(x' = qxq^{-1}\)，可以算出旋转矩阵：
  • \[R(q) = \begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2} & 2xy-2zw & 2xz+2yw \\ 2xy+2zw & 1-2x^{2}-2z^{2} & 2yz-2xw \\ 2xz-2yw & 2yz+2xw & 1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}\]
• 四元数 ← 旋转矩阵。
  • 因为 \(\operatorname{tr}(R) = 3 - 4(x^{2}+y^{2}+z^{2}) = 4w^{2} - 1\)（\(\operatorname{tr}(R)\) 是 R 的迹）。
  • 可以计算四元数：\(w = \frac{\sqrt{\operatorname{tr}(R)+1}}{2}\text{，}x = \frac{R_{32}-R_{23}}{4w}\text{，}y = \frac{R_{13}-R_{31}}{4w}\text{，}z = \frac{R_{21}-R_{12}}{4w}\)。

对照原课件第25页与完整中文翻译 →

6.2 旋转矩阵 → 四元数

反向转换从迹入手：由上面的公式可得 $\mathrm{tr}(R) = 3 - 4(x^2+y^2+z^2) = 4w^2 - 1$，于是（$w \neq 0$ 时）：

$$ w = \frac{\sqrt{\mathrm{tr}(R)+1}}{2}, \qquad x = \frac{R_{32}-R_{23}}{4w}, \qquad y = \frac{R_{13}-R_{31}}{4w}, \qquad z = \frac{R_{21}-R_{12}}{4w} $$

7四元数的距离

两个四元数「差多远」？把单位四元数看成 $S^3$ 球面上的点，距离就是球面角度（笔记 + 课件 p26）：

$$ \langle p, q \rangle = \arccos(p \cdot q) $$

可从相对旋转理解：从 $p$ 到 $q$ 的相对旋转是 $\Delta q = q p^*$，其实部正好是两四元数（视为 4D 向量）的点积：$\mathrm{Re}(\Delta q) = p \cdot q = \cosd_{S^3}(p,q)$。

而旋转之间的距离，考虑双重覆盖后取绝对值（$q$ 与 $-q$ 同一旋转）：

$$ \mathrm{dist}(p, q) = 2\arccos(|p \cdot q|) = 2\min\{d_{S^3}(p,q),\ d_{S^3}(p,-q)\} $$

计算旋转差异时，先在$q$与$-q$中选较近代表，再将球面夹角乘2。实现前保证单位模长，并把绝对点积裁剪至$[0,1]$。这对应作业函数quat_relative_angle。

中文翻译

\(O,q_0,q_1,\theta\)。

\(\mathbf u_t,\mathbf v_0,\mathbf v_1,2\theta\)。

8四元数插值：从 Lerp 到 Slerp

机器人动画、轨迹生成里最常见的问题：给定两个姿态 $q_1, q_2$，求它们之间的平滑过渡。下面逐步比较三种插值方法：

8.1 Lerp：朴素的线性插值

$$ q(t) = (1-t)q_1 + tq_2 $$

中文翻译

\(O,q_0,q_1,q_t\)。

先看模长：在不同端点之间的内部插值结果通常不再是单位四元数；两端点本身仍为单位。若端点互为反号，直线在中点经过零四元数，不能直接归一化。

8.2 Nlerp：补一个归一化

$$ q(t) = \frac{(1-t)q_1 + tq_2}{\|(1-t)q_1 + tq_2\|} $$

中文翻译

\(O,q_0,q_1,q_t,q_t'\)。

再看速度：Lerp/Nlerp 切分的是弦长而非弧长——等时间间隔下，旋转的角速度不均匀（中间快、两头慢）：

中文翻译

\(\mathbf v_1,t=1\)；\(t=0.75\)；\(t=0.50\)；\(t=0.25\)；\(\mathbf v_0,t=0\)；\(O\)。

8.3 Slerp：沿球面大圆弧插值

把插值从「割线」移到「球面大圆弧」（测地线，geodesic）上（课件 p28-30）：

$$ q(t) = \frac{\sin((1-t)\theta)}{\sin\theta}\, q_1 + \frac{\sin(t\theta)}{\sin\theta}\, q_2, \qquad \theta = \arccos(q_1 \cdot q_2) $$

中文翻译

\(\mathbf v_1,\mathbf v_t,\mathbf v_0,O\)；\((1-t)\theta\)；\(t\theta\)。

球面线性插值

对不同朝向进行直观的插值。

• 可用四元数很好地表示。
• 对动画和运动规划很有用。
• 给定两个四元数，在它们之间插值。
• 球面两点之间的最短路径。
  • 测地线，位于大圆上。

幻灯片来源：康奈尔大学 CS4620，2015年秋季。

对照原课件第28页与完整中文翻译 →

Slerp 的系数可以用正弦定理推导（笔记 + 课件）：把 $q_1, q_2$ 看作平面内夹角 $\psi$ 的两个单位向量，$\mathbf{v}(t) = w_0\mathbf{v}_0 + w_1\mathbf{v}_1$，由 $\frac{\sin\alpha}{w_1} = \frac{\sin\beta}{w_0} = \sin\psi$ 得到：

$$ w_0 = \frac{\sin\beta}{\sin\psi}, \qquad w_1 = \frac{\sin\alpha}{\sin\psi} $$

中文翻译

\(\mathbf v_1,\mathbf v(t),\mathbf v_0\)；\(w_1,w_0\)；\(\alpha,\beta,\pi-\psi\)。

8.4 两个工程细节（课件 p31）

• 夹角趋近 0：$\sin\theta \approx \theta$，Slerp 退化为线性插值（直接用 Lerp/Nlerp 即可，避免除 0）；
• 最短弧与双重覆盖：若$q_1\cdot q_2<0$，先把$q_2$整体取反，再按球面夹角$\alpha=\arccos(q_1\cdot q_2)$插值。对跖的$q$与$-q$其实是同一物理旋转；三维相对转角180°对应球面夹角90°，此时物理最短路径可有两种。

9球面均匀采样

数据增强、随机初始化、位姿估计的采样都需要的操作：随机生成一个旋转，且要「均匀」——各个方向的概率应一致（课件 p32）。

在$S^3$上均匀采样单位四元数，再经旋转映射得到$SO(3)$的均匀旋转分布。关键是球面均匀测度在四元数乘法下保持不变，并通过双重覆盖对应到旋转不变测度；距离关系帮助建立直觉，均匀性的依据则来自上述测度不变性。

那么如何在 $S^3$ 上均匀采样？可以从正态分布采样：

这也正是第 1 章作业 1 里 uniform_random_quat 的实现方式（随机 4 维正态向量，除以模长）。

10表示对比与工程约定

四种旋转表示的对比（课件 p35-37）：

工程上各自的分工（课件 p36，引用 CVPR'19《On the Continuity of Rotation Representations》）：用旋转矩阵定义概念、用欧拉角可视化、用轴角可视化并算导数、用四元数写高效代码。

旋转矩阵的9个元素给出SO(3)在欧几里得空间中的连续编码，网络输出仍需映射到满足正交性与行列式条件的矩阵。欧拉角、轴角和选定符号的四元数在全局边界处可能跳变，训练时需要处理这些边界，并结合任务选择表示。

工程约定：wxyz 还是 xyzw？

不同库或同一库的不同接口可能采用不同四元数分量顺序。下面列出本教程与SciPy的具体约定，使用时应查接口文档：

四元数的效率数字（课件 p22）：存储 4 个数 vs 矩阵 9 个；乘法 16 次乘法 + 12 次加法 vs 矩阵 27 + 18；且旋转矩阵在连续乘法中会累积数值误差破坏正交性，四元数则只需偶尔归一化。

11运动规划入门：配置空间

利用已经学过的位姿与关节配置，继续考虑：机器人怎么在障碍物之间规划路径？（课件 p38-43）

11.1 配置空间（C-space）

配置空间：系统的所有可能状态组成的集合（对机械臂而言，就是所有可能的关节角度组合）。它被障碍物切成两块：

• $C$：配置空间（所有状态）；
• $C_{\text{free}}$：自由空间——有效（无碰撞）状态；
• $C_{\text{obs}}$：障碍空间——碰撞状态；满足 $C_{\text{free}} \cup C_{\text{obs}} = C$，$C_{\text{free}} \cap C_{\text{obs}} = \varnothing$。

配置空间

• 配置空间（C 空间）是 \(\mathbb{R}^{n}\) 的一个子集，包含系统的所有可能状态（强化学习中的状态空间）。
• \(C_{\mathrm{free}} \subseteq C\) 包含所有有效状态。
• \(C_{\mathrm{obs}} \subseteq C\) 表示障碍物。
• 例子：
  • 机器人的所有有效位姿。
  • 机器人的所有有效关节取值。
  • ……

对照原课件第39页与完整中文翻译 →

中文翻译

\(C_{\mathrm{obs}}\)：障碍配置空间。

\(C_{\mathrm{free}}\)：自由配置空间。

\(q_I\)：起始配置；\(q_G\)：目标配置。

例子

• Ratliff N、Zucker M、Bagnell J A 等：《CHOMP：高效运动规划的梯度优化技术》（CHOMP: Gradient optimization techniques for efficient motion planning），ICRA 2009。
• Schulman, John 等：《使用序列凸优化寻找局部最优的无碰撞轨迹》（Finding Locally Optimal, Collision-Free Trajectories with Sequential Convex Optimization），RSS 2013。

对照原课件第40页与完整中文翻译 →

11.2 问题定义与挑战

给定：自由空间 $C_{\text{free}}$、起始状态 $q_{\text{start}}$、目标状态 $q_{\text{goal}}$。目标：计算一系列动作使机器人从起点安全到达终点。

（注意：这里的 $q$ 表示配置空间中的点，在本节用于记录关节配置；阅读时按所在小节区分其含义。对机械臂来说，$q$ 就是关节角度组合 $(\theta_1, \dots, \theta_n)$。）

三大挑战：

1. 避障：路径必须始终在 $C_{\text{free}}$ 内；
2. 长规划范围：要考虑较远目标或多步后果，路径和约束更复杂；课件的Long planning horizon描述需要考虑的规划跨度；算法计算时间是另一项指标。
3. 高维空间：多关节机器人的配置空间维数很高（维度诅咒）。

运动规划

• 问题：
  • 给定配置空间 \(C_{\mathrm{free}}\)。
  • 给定 \(C_{\mathrm{free}}\) 中的起始状态 \(q_{\mathrm{start}}\) 和目标状态 \(q_{\mathrm{goal}}\)。
  • 计算从起始状态到目标状态的一系列动作。
• 挑战：
  • 需要避开障碍物。
  • 规划时域长。
  • 规划空间维度高。

对照原课件第41页与完整中文翻译 →

课件p43给出基本流程：URDF描述每个连杆的碰撞几何；FK根据配置$q$把几何放到相应位置；碰撞查询判断该配置是否有效。具体引擎可能采用网格、球体等不同近似。几何配置空间主要描述位置与形状。把无碰撞路径用于实际运动，还需考虑速度、动力学和控制条件。

机器人的碰撞建模

• 各连杆的碰撞网格在 URDF 中定义。
• 利用正向运动学，根据 q 得到机器人的碰撞网格。
• 运行碰撞检测，判断 q 是否属于 \(C_{\mathrm{free}}\)。

cuRobo 中的机器人表示。

对照原课件第43页与完整中文翻译 →

12本章小结

13动手实践

本章的动手实践对应第1章作业1：作业 1 的 11 个四元数函数全部是本章内容。读完推导后，可以再次检查每个函数的输入、公式和边界条件。建议回看一遍 rotation.py，逐函数对号入座：

练习 1：验证 Slerp 的角速度均匀性（15 分钟）

写一个小实验，比较 Nlerp 与 Slerp 在等时间间隔下的旋转角度变化：

import numpy as np

def unit_quat(q):
    q = np.array(q, dtype=float, copy=True)
    if q.shape != (4,) or not np.all(np.isfinite(q)):
        raise ValueError("四元数必须包含四个有限分量")
    norm = np.linalg.norm(q)
    if norm == 0:
        raise ValueError("零四元数不能表示旋转")
    return q / norm

def slerp(q1, q2, t):
    q1, q2 = unit_quat(q1), unit_quat(q2)
    dot = float(q1 @ q2)
    if dot < 0:
        q2, dot = -q2, -dot
    dot = np.clip(dot, 0.0, 1.0)
    if dot > 1 - 1e-8:
        return unit_quat((1-t)*q1 + t*q2)
    theta = np.arccos(dot)
    return unit_quat((np.sin((1-t)*theta)*q1 + np.sin(t*theta)*q2)
                     / np.sin(theta))

def nlerp(q1, q2, t):
    q1, q2 = unit_quat(q1), unit_quat(q2)
    if q1 @ q2 < 0:
        q2 = -q2
    return unit_quat((1-t)*q1 + t*q2)

# 两个相差 120° 的旋转（绕 z 轴）
q1 = np.array([np.cos(0), 0, 0, np.sin(0)])
q2 = np.array([np.cos(np.pi/3), 0, 0, np.sin(np.pi/3)])   # θ/2 = 60°

ts = np.linspace(0, 1, 11)
angles_slerp = [2*np.arccos(np.clip(np.abs(slerp(q1,q2,t) @ q1), -1, 1)) for t in ts]
angles_nlerp = [2*np.arccos(np.clip(np.abs(nlerp(q1,q2,t) @ q1), -1, 1)) for t in ts]
diff_s = np.diff(angles_slerp); diff_n = np.diff(angles_nlerp)
print("Slerp 相邻间隔:", np.round(diff_s, 4))   # 均匀！
print("Nlerp 相邻间隔:", np.round(diff_n, 4))   # 中间大两头小

练习 2：验证双重覆盖与相对角度（10 分钟）

# q 与 -q 表示同一旋转：相对角度应为 0
q = np.array([np.cos(np.pi/6), np.sin(np.pi/6), 0, 0])   # 绕 x 转 60°
rel = 2*np.arccos(np.clip(np.abs(q @ (-q)), -1, 1))
print("q 与 -q 的旋转距离:", np.round(rel, 6), "（期望 0）")
assert rel < 1e-6

# 用 rotation.py 的 quat_to_mat 验证：R(q) == R(-q)
def quat_to_mat(q):
    w, x, y, z = q
    return np.array([
        [1-2*y*y-2*z*z, 2*x*y-2*w*z, 2*w*y+2*x*z],
        [2*x*y+2*w*z, 1-2*x*x-2*z*z, 2*y*z-2*w*x],
        [2*x*z-2*w*y, 2*w*x+2*y*z, 1-2*x*x-2*y*y]])
assert np.allclose(quat_to_mat(q), quat_to_mat(-q))
print("✓ R(q) 与 R(-q) 完全相同")

练习 3：均匀采样体检（10 分钟）

用 §9 的方法采样 10000 个随机旋转，检验「旋转轴是否真的各向同性」：

samples = np.random.randn(10000, 4)
samples /= np.linalg.norm(samples, axis=1, keepdims=True)
axes = samples[:, 1:] / np.linalg.norm(samples[:, 1:], axis=1, keepdims=True)
mean = axes.mean(axis=0)
print("旋转轴均值（期望 ≈ 0 向量）:", np.round(mean, 4))

附A术语表

附B课件 44 页完整索引

原始 Lecture 3 课件共 44 页（GitHub 原文件）。下表逐页列出内容及在本教程中的位置：

附C参考资源

• 课程官网：pku-epic.github.io/Intro2EAI_2025
• 本教程素材来源仓库：zhuozhiyongde/Embodied-Artificial-Intelligence-2025Spring-PKU
• 本章课件：Slides/Lecture03_03_03.pdf（44 页）
• 本章笔记原文：Notes/03-Robotics-II.md

延伸阅读

• Krasjet《Quaternion》：四元数入门材料，本章多处推导的原始出处
• Zhou et al., On the Continuity of Rotation Representations, CVPR 2019：6D 表示的原始论文
• Stanford CS348A（四元数旋转证明的来源课件）
• Cornell CS4620 Fall 2015（Slerp 插值图的来源课件）
• 工具库：transforms3d（Python 变换库）、Kornia（可微变换，注意数值性质）、ceres（C++ 优化库）

接口核对：SciPy Rotation.from_quat官方文档（默认xyzw，scalar_first控制顺序，输入自动归一化）。连续性依据：Zhou等，神经网络中旋转表示的连续性。